Question

已知函数f（x）=2^x，数列{a_n}满足a₁=f（0），且f(an+1)=

1

f(-2-an)

(n∈N*)．
（1）证明数列{a_n}是等差数列，并求a₂₀₁₀的值；
（2）分别求出满足下列三个不等式：(1+

1

a1

)≥k

2×1+1

，(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)≥k

2×2+1

，(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)(1+

1

a3

)≥k

2×3+1

的k的取值范围，并求出同时满足三个不等式的k的最大值；
（3）若不等式(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)(1+

1

a3

)…(1+

1

an

)≥k

2n+1

对一切n∈N^*都成立，猜想k的最大值，并予以证明．

Answer 1

分析：（1）由已知条件化简得a_n+1=a_n+2，知a_n是等差数列，即a_n=2n-1，从而求得a₂₀₁₀=4019；
（2）先分别求出三个不等式中k的范围，当k同时满足三个不等式时，再求k的最大值．
（3）将已知条件变形，化成k≤F（n）恒成立问题，要求k的最大值即求F（n）的最小值，利用F（n）与F（n+1）的关系判断F（n）关于n的单调增函数，即F（n）的最小值就是F（1）．从而求得k的范围．

解答：解：（1）由f(an+1)=

1

f(-2-an)

(n∈N*)，得f（a_n+1）•f（-2-a_n）=1（n∈N^*），
即2an+1•2-2-an=1，a_n+1=a_n+2，∴a_n是等差数列，∴a_n=2n-1，∴a₂₀₁₀=4019．（3分）

(2)由(1+ 1 a1 )≥k 2×1+1 ，得k≤ 2 3 3 ； ，(1+ 1 a1 )(1+ 1 a2 )≥k 2×2+1 ，得k≤ 8 5 15 ；

(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)(1+

1

a3

)≥k

2×3+1

，得k≤

16 7

35

．∵

2 3

3

≤

8 5

15

≤

16 7

35

，∴当k同时满足三个不等式时，kmax=

2 3

3

．（6分）
（3）由(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)(1+

1

a3

)(1+

1

an

)≥k

2n+1

，得k≤

(1+ 1 a1 )(1+ 1 a2 )(1+ 1 a3 )(1+ 1 an )

2n+1

恒成立．

令F(n)= (1+ 1 a1 )(1+ 1 a2 )(1+ 1 a3 )(1+ 1 an ) 2n+1 ， 则F(n+1)= (1+ 1 a1 )(1+ 1 a2 )(1+ 1 a3 )(1+ 1 an )(1+ 1 an+1 ) 2n+3 ，

F(n+1)

F(n)

=

2(n+1)

4(n+1)2-1

＞1，
∴F（n+1）＞F（n），

∴F(n)是关于n的单调增函数， ∴F(n)≥F(1)= 2 3 3 ，

∴kmax=

2 3

3

．（10分）

点评：此题考查等差数列的定义，及运用数列单调性来解决恒成立问题．