Question

下表给出一个“三角形数阵”（如图），已知每一列的数成等差数列，从第三行起每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为a_ij（i≥j，i，j∈N^*）．
（1）求a₈₃；
（2）试写出a_ij关于i，j的关系式；
（3）记第n行的和A_n，求数列{A_n}的前m项和B_m的表达式．

Answer 1

考点：数列的求和,进行简单的合情推理

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）求出第一列的公差，利用等差数列的通项公式求a₈₃；    
（2）利用等比数列的性质写出a_ij；
（3）先表示出A_n，B_m，然后利用错位相减法求出数阵中所有数之和．

解答： 解：（1）由题意知，第一列公差为d=

1

2

-

1

4

=

1

4

，每行成等比数列，且公比q=

1

2

，
由已知a₈₁=

1

4

+(8-1)×

1

4

=2，
又a₈₃是第8行第3个数，
故a₈₃=a₈₁•q²=

1

2

；
（Ⅱ）∵a_i1=

1

4

+（i-1）×

1

4

=

i

4

，
∴a_ij=

i

4

．(

1

2

)j-1．
（Ⅲ）设数阵中第n行的所有数字之和为A_n，
则A_n=

n

4

（1+

1

2

+…+

1

2n-1

）=

n

2

-

1

2

×

n

2n

．
所求之和B_m=A₁+A₂+…+A_m=

1

2

(1+2+…+m)-

1

2

（1×

1

2

+2×

1

22

+…+m•

1

2m

）．
设S=1×

1

2

+2×

1

22

+…+m•

1

2m

，
则

1

2

S=1×

1

22

+…+（m-1）•

1

2m

+m•

1

2m+1

，
两式相减得

1

2

S=

1

2

+

1

22

+…+

1

2m

-

m

2m+1

=

1 2 [1-( 1 2 )m]

1- 1 2

-

m

2m+1

=1-

2+m

2m+1

，
∴B_m=

m(m+1)

4

-（1-

2+m

2m+1

）．

点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的综合运用，运算量较大，综合性较强，考查学生的运算能力．