Question

已知直线l：ax+y=1在矩阵A=

1 2 0 1

对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1．
（1）求实数a，b的值；
（2）求矩阵A的特征值与特征向量．

Answer 1

考点：矩阵特征值的定义,特征向量的定义

专题：选作题,矩阵和变换

分析：（1）任取直线l：ax+y=1上一点M（x，y），经矩阵A变换后点为M′（x′，y′），利用矩阵乘法得出坐标之间的关系，求出直线l′的方程，从而建立关于a，b的方程，即可求得实数a，b的值；
（2）先根据特征方程，求出特征值，然后把特征值代入Aα=λα，从而求出特征向量．

解答： 解：（1）设直线l：ax+y=1上任意点M（x，y）在矩阵A对应的变换作用下的像是M′（x′，y′）．
由

x′ y′

=

1 2 0 1

x y

，得

x′=x+2y y′=y

又点M′（x′，y′）在l′上，所以x′+by′=1
即x+（b+2）y=1．
依题意，得

a=1 b+2=1

解得a=1，b=-1；
（2）f（λ）=（λ-1）²，得矩阵A特征值为λ₁=λ₂=1，
将λ₁=λ₂=1代入方程Aα=λα可解得矩阵A属于特征值λ₁=λ₂=1的特征向量为

1 0

．

点评：本题以矩阵为依托，考查矩阵的乘法，考查考查特征值与特征向量，关键是正确利用矩阵的乘法公式．