Question

两个二次函数f（x）=x²+bx+c与g（x）=-x²+2x+d的图象有唯一的公共点P（1，-2），
（Ⅰ）求b，c，d的值；
（Ⅱ）设F（x）=（f（x）+m）•g′（x），若F（x）在[-2，0]上是单调函数，求m的范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的零点

专题：导数的综合应用

分析：（I）由题意可得（1，-2）为两抛物线的顶点，结合二次函数的性质可求b，c，d
（II）由（I）可求f（x），g（x），代入可求F（x）=（f（x）+m）•g′（x），对函数F（x）求导，然后结合二次函数的性质可判断F′（x）的正负，从而可判断函数的单调性．

解答： 解：（Ⅰ）∵P（1，-2）是两个函数的公共点，∴g（1）=1+d=-2，解得d=-3，
即g（x）=-x²+2x-3，
∵f（1）=1+b+c=-2，∴b+c=-3，即c=-3-b，①
由f（x）=g（x），即x²+bx+c=-x²+2x-3，
则2x²+（b-2）x+c+3=0，
则判别式△=（b-2）²-8（c+3）=0，②
由①②得（b+2）²=0，解得b=-2，c=-1．
即b=-2，c=-1，d=-3；
（Ⅱ）∵b=-2，c=-1，d=-3，∴f（x）=x²-2x-1与g（x）=-x²+2x-3，
则g′（x）=-2x+2，
∴F（x）=（f（x）+m）•g′（x）=（x²-2x-1+m）•（-2x+2），
∴F′（x）=-6x²+4x-（2m+6），
则函数F′（x）的对称轴为x=-

4

-2×6

=

1

3

，抛物线开口向下，
∴[-2，0]在对称轴的左侧，
若F（x）在[-2，0]上是单调函数，
则F′（-2）F′（0）≥0，
即（-38-2m）[-（2m+6）]≥0，
则（2m+38）（2m+6）≥0，
即（m+19）（m+3）≥0，解得m≥-3或≤-19．
故m的范围是m≥-3或≤-19．

点评：本题主要考查了二次函数的对称性、函数的导数与函数的单调性的关系的应用，解题的关键是熟练应用二次函数的性质