Question

已知双曲线C₁的两渐近线方程为3x±2y=0，且经过点P（3，

3 13

2

），
（1）求双曲线C₁的方程和离心率；
（2）曲线C₂是以C₁的顶点为焦点、离心率的倒数为离心率的椭圆，求椭圆C₂的方程．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）将双曲线的方程设为9x²-4y²=λ（λ≠0），将点的坐标代入可得λ的值，进而可得双曲线C₁的方程和离心率；
（2）求出椭圆C₂的焦点为（0，±3），离心率为

3

13

，可得a，b，即可求椭圆C₂的方程．

解答： 解：（1）∵双曲线C₁的两渐近线方程为3x±2y=0，
∴设双曲线C₁的方程为：9x²-4y²=λ（λ≠0），
∵双曲线C₁经过点P（3，

3 13

2

），
∴λ=9×9-4×

9×13

4

=-36，
故双曲线C₁的方程为：

y2

9

-

x2

4

=1，离心率e=

c

a

=

13

3

；
（2）椭圆C₂的焦点为（0，±3），离心率为

3

13

，
∴c=3，a=

13

，
∴b=2，
∴椭圆C₂的方程

y2

13

+

x2

4

=1．

点评：本题考查双曲线的方程，涉及双曲线的方程与其渐近线的方程之间的关系，考查椭圆方程，考查学生的计算能力，属于中档题．