Question

点P是椭圆

x2

2

+y²=1上的一点，F₁和F₂是焦点，且∠F₁PF₂=30°，求△F₁PF₂的面积．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据椭圆的定义，得|PF₁|+|PF₂|=2a=2

2

…①，再在△F₁PF₂中用余弦定理，得|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos30°=|F₁F₂|²=（2c）²=4…②．由①②联解，得（2+

3

）|PF₁|•|PF₂|=4，最后用根据正弦定理关于面积的公式，可得△PF₁F₂的面积．

解答： 解：在椭圆

x2

2

+y²=1中，a=

2

，b=1，∴c=1
又∵点P在椭圆上，∴|PF₁|+|PF₂|=2a=2

2

①（6分）
由余弦定理知：|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos30°=|F₁F₂|²=（2c）²=4 ②（8分）
把①两边平方得|PF₁|²+|PF₂|²+2|PF₁|•|PF₂|=8，③
③-②得（2+

3

）|PF₁|•|PF₂|=4，
∴|PF₁|•|PF₂|=4（2-

3

），（10分）
∴S△PF1F2=

1

2

|PF₁|•|PF₂|sin30°=2-

3

（12分）

点评：本题给出椭圆上一点对两个焦点的张角为30°，求椭圆两焦点与该点构成三角形的面积，着重考查了椭圆的简单性质和正、余弦定理等知识点，属于中档题．