Question

已知向量

a

=(x2，x+1)，

b

=(1-x，t)，函数f(x)=

a

•

b

（Ⅰ）若t=0，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）的两个极值点分别在区间（-1，1）和（1，+∞）上，求t的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数在某点取得极值的条件,平面向量数量积的运算

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）t=0时，f（x）=-x³+x²，得f′（x）=x（2-3x），从而f（x）在（-∞，0），（

2

3

，+∞）递减，在（0，

2

3

）递增；
（Ⅱ）由f（x）=-x³+x²+tx+t，得f′（x）=-3x²+2x+t，从而

f′(-1)＜0 f′(1)＞0

，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）t=0时，f（x）=-x³+x²，
∴f′（x）=x（2-3x），
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜

2

3

，
令f′（x）＜0，解得：x＞

2

3

，x＜0，
∴f（x）在（-∞，0），（

2

3

，+∞）递减，在（0，

2

3

）递增；
（Ⅱ）∵f（x）=-x³+x²+tx+t，
∴f′（x）=-3x²+2x+t，
∴

f′(-1)＜0 f′(1)＞0

，即

-3-2+t＜0 -3+2+t＞0

，
解得：1＜t＜5，
∴t的范围是：（1，5）．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，求参数的范围，是一道基础题．