Question

如图，在四棱维S-ABCD中，底面ABCD是正方形．SA⊥底面ABCD，SA=AD=1．点M是SD的中点．AN⊥SC，交SC于点N．
（1）求证：SC⊥平面AMN；
（2）求三棱维D-ACM的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（1）先证AM⊥面SDC，所以AM⊥SC，再用线面垂直的判定；（2）V_D-ACM=V_M-DAC等积转化．

解答： 证明：（1）因为SA⊥底面ABCD，所以SA⊥CD…（1分）
又AD⊥CD，所以CD⊥面SAD…（2分）
因为CD⊥AM…①…（3分）
又SA=AD=1，且M是SD的中点，所以AM⊥SD…②
由①②得AM⊥面SDC，所以AM⊥SC…（4分）
又AN⊥SC，所以SC⊥面AMN…（5分）
所以平面SAC⊥平面AMN…（6分）
（2）V_D-ACM=V_M-DAC…（9分）
所以VS-ACM=

1

3

S△ACD•

1

2

SA=

1

3

•

1

2

•

1

2

=

1

12

…（12分）

点评：本小题主要考查空间线面关系、三棱锥S-ACM的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．