Question

已知函数f（x）=（x³-6x²+3x+t）e^x，t∈R．
（1）若函数y=f（x）在x=a，x=b，x=c处取到极值，且a，b，c成等差数列，求t的值；
（2）若存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式 f（x）≤x恒成立．求正整数m的最大值．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）根据极值点是导函数的根，据方程的根是相应函数的零点，结合a，b，c成等差数列，列出方程组，解出t值；
（2）先将存在实数t∈[0，2]，使不等式f（x）≤x恒成立转化为将t看成自变量，f（x）的最小值）≤x；再构造函数，通过导数求函数的单调性，求函数的最值，求出m的范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=（x³-6x²+3x+t）e^x，
∴f′（x）=（3x²-12x+3）e^x+（x³-6x²+3x+t+3）e^x．
又∵a，b，c是f（x）的三个极值点，
∴x³-3x²-9x+t+3=（x-a）（x-b）（x-c）
=x³-（a+b+c）x²+（ab+bc+ac）x-abc
∴

a+b+c=3 ab+ac+bc=-9 t+3=-abc a+c=2b

．
解得，b=1，ac=-11．t=8．
∴t=8．
（2）不等式 f（x）≤x，即（x³-6x²+3x+t）e^x≤x，
即t≤xe^-x-x³+6x²-3x．
转化为存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式t≤xe^-x-x³+6x²-3x．
转化为存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，
不等式t≤xe^-x-x³+6x²-3x恒成立．
即不等式0≤xe^-x-x³+6x²-3x在x∈[1，m]上恒成立．
即不等式0≤e^-x-x²+6x-3在x∈[1，m]上恒成立．
设φ（x）=e^-x-x²+6x-3，则φ'（x）=-e^-x-2x+6．
设r（x）=φ'（x）=-e^-x-2x+6，则r'（x）=e^-x-2，因为1≤x≤m，有r'（x）＜0．
故r（x）在区间[1，m]上是减函数．
又r（1）=4-e^-1＞0，r（2）=2-e^-2＞0，r（3）=-e^-3＜0
故存在x₀∈（2，3），使得r（x₀）=φ'（x₀）=0．
当1≤x＜x₀时，有φ'（x）＞0，当x＞x₀时，有φ'（x）＜0．
从而y=φ（x）在区间[1，x₀]上递增，在区间[x₀，+∞）上递减．
又φ（1）=e^-1+4＞0，φ（2）=e^-2+5＞0，φ（3）=e^-3+6＞0，φ（4）=e^-4+5＞0，φ（5）=e^-5+2＞0，
φ（6）=e^-6-3＜0．
所以当1≤x≤5时，恒有φ（x）＞0；
当x≥6时，恒有φ（x）＜0；
故使命题成立的正整数m的最大值为5．

点评：本题考查利用导数求函数的极值、极值点是导函数的根、解决不等式恒成立常用的方法是构造函数利用导数求函数的最值．