Question

已知函数f(x)=log2

x+2a+1

x-3a+1

．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的定义域关于坐标原点对称，试讨论它的奇偶性和单调性．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据对数函数的定义即可得到不等式，解得即可．
（2）利用函数奇偶性判断即可，再根据复合函数的单调性，求出函数f（x）的单调区间．

解答： 解：（1）

x+2a+1

x-3a+1

＞0，所以当a＞0时，定义域为（-∞，-2a-1）∪（3a-1，+∞）；
当a＜0时，定义域为（-∞，3a-1）∪（-2a-1，+∞）；
当a=0时，定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞）
（2）函数f（x）的定义域关于坐标原点对称，当且仅当-2a-1=-（3a-1）
解得a=2，
此时f(x)=log2

x+5

x-5

．
对于定义域D=（-∞，-5）∪（5，+∞）内任意x，-x∈D，
f（-x）=log2

-x+5

-x-5

=log2

x-5

x+5

=-log2

x+5

x-5

=-f（x），
所以f（x）为奇函数；
当x∈（5，+∞），f（x）在（5，+∞）内单调递减；
由于f（x）为奇函数，所以在（-∞，-5）内单调递减；

点评：本题主要考查了对数函数的定义域，以及复合函数奇偶性和单调性，属于基础题．