Question

如图，在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2

2

，M为AB的中点．
（1）证明：AC⊥SB；
（2）求二面角S-CM-A的余弦值；
（3）求点B到平面SCM的距离．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）建立空间直角坐标系，

AC

•

BS

=0；
（2）求出两平面法向量的坐标，求其夹角；

n

═（-1，

3

，1）；
（3）为平面SCM的一个法向量，点B到平面SCM的距离d=

| n • CB |

n

=

4 5

5

．

解答： 解：（1）证明：取线段AC的中点O，连接OS，OB．
因为SA=SC，BA=BC，所以AC⊥SO且AC⊥BO．
因为平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC，所以SO⊥平面ABC，
所以SO⊥BO．…（1分）
建立如图所示空间直角坐标系，则A（2，0，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），B（0，2

3

，0），

AC

=（-4，0，0），

BS

=（0，-2

3

，2），
因为

AC

•

BS

═（-4，0，0）•（0，-2

3

，2）=0，
所以

AC

⊥

BS

，
即AC⊥SB…（3分）
（2）

OS

=（0，0，2），为平面ABC的一个法向量．…（4分）
由（1）得：M（1，

3

，0），

CM

=（3，

3

，0），

CS

=（2，0，2），．
设

n

=（x，y，z），为平面SCM的一个法向量，则

n ⊥ CM n ⊥ CS

即

n • CM =3x+ 3 y=0 n • CS =2x+2z=0

取x=1，则y=-

3

，z=-1，
∴

n

=（-1，

3

，1），
所以cos＜

n

，

OS

＞=

n • OS

| n || OS |

=

5

5

…（8分）
由图可知：二面角S-CM-A是锐角二面角，…（9分）
所以二面角S-CM-A的余弦值为

5

5

．…（10分）
（3）由（1）（2）可得：

CB

=（2，2

3

，0），

n

═（-1，

3

，1），为平面SCM的一个法向量．…（11分）
所以，点B到平面SCM的距离d=

| n • CB |

n

=

4 5

5

．…（13分）

点评：本题考查了利用空间向量研究平面与平面所成角、点到平面的距离公式和异面垂直的证法等知识，属于中档题．