Question

定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x），又f（x+

π

2

）=f（x-

π

2

），且当x∈[0，

π

2

]时，f（x）=sinx，则f（

5π

3

）的值为（　　）

• A、

  1

  2

• B、-

  1

  2

• C、

  3

  2

• D、-

  3

  2

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：由题意得函数f（x）为奇函数和周期是π的周期函数，再根据当x∈[0，

π

2

]时，f（x）=sinx，求得f（

5π

3

）的值．

解答： 解：∵f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数，
又f（x+

π

2

）=f（x-

π

2

），
∴f（x）=f（x+π），
∴f（x）为周期是π的周期函数，
∴f（

5π

3

）=f（2π-

π

3

）=f（-

π

3

）=-f（

π

3

）=-sin

π

3

=-

3

2

．
故选：D．

点评：本题考查的知识点是三角函数的周期性和奇偶性及其求法，判断出函数的周期性是解答本题的关键．