Question

已知f（x）=

ax3

3

-（a+1）x²+4x+1（a∈R）
（1）当a=-1时，求函数的单调区间；
（2）当a∈R时，讨论函数的单调增区间；
（3）是否存在负实数a，使x∈[-1，0]，函数有最小值-3？

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,分类讨论,导数的综合应用

分析：（1）写出a=-1的函数解析式，再求导，分别令大于0，小于0，得到单调区间；
（2）求出导数，分解因式，对a讨论，分a=0，a＜0，0＜a＜1，a=1，a＞1五种情况，求出单调增区间；
（3）假设存在负实数a，使x∈[-1，0]，函数有最小值-3．再由a≥-2，a≤-2，讨论单调区间，得到最小值，再解出a，检验，即可得到答案．

解答： 解：（1）当a=-1时，f（x）=-

1

3

x³+4x+1，f′（x）=-x²+4，
由f′（x）＜0，解得x＞2或x＜-2；
由f′（x）＞0，解得-2＜x＜2，
故函数的单调减区间为：（-∞，-2），（2，+∞），单调增区间为：（-2，2）；
（2）f′（x）=ax²-2（a+1）x+4=（ax-2）（x-2），
①当a=0，由f′（x）＞0得到x＜-2，即增区间为（-∞，-2）；
②当a＜0，f′（x）＞0，得到

2

a

＜x＜2，即增区间为（

2

a

，2）；
③当0＜a＜1，f′（x）＞0，得到x＞

2

a

或x＜2，即增区间为（-∞，2），（

2

a

，+∞），
④当a=1，f（x）=（x-2）2≥0，即增区间为（-∞，+∞）；
⑤当a＞1，f′（x）＞0，得到x＜

2

a

或x＞2，即增区间为（2，+∞），（-∞，

2

a

）．
（3）假设存在负实数a，使x∈[-1，0]，函数有最小值-3．
因a＜0，由②分两类（依据：单调性，极小值点是否在区间[-1，0]上是分类“契机”）：
①当

2

a

≤-1?a≥-2，当x∈[-1，0）⊆（

2

a

，2），f（x）递增，f（x）_min=f（-1）=-3，
即-

a

3

-（a+1）-3=-3，解得a=-

3

4

＞-2；
②当

2

a

≥-1?a≤-2，由单调性知：f（x）min=f（

2

a

）=-3，化简得：3a2+3a-1=0，解得
a=

-3± 21

6

＞-2，不合要求．
综上，存在这样的负数a，且a=-

3

4

为所求．

点评：本题考查导数的综合运用：求单调区间和函数的最值，同时考查分类讨论思想方法，考查存在型问题的解法，是一道综合题．