Question

以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C₁的极坐标方程为ρ²+6ρcosθ-2ρsinθ+6=0，曲线C₂的参数方程为

x=3cosθ y=3sinθ

（θ为参数）．
（Ⅰ）将曲线C₁的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线C₁与曲线C₂交于A，B两点，求|AB|的长．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）根据ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ和条件，将曲线C₁的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）利用平方关系消去θ得到曲线C₂的直角坐标方程，将两个圆的方程相减得的直线AB的方程，利用弦长公式和点到直线的距离公式求出|AB|的长．

解答： 解：（Ⅰ）∵曲线C₁的极坐标方程为ρ²+6ρcosθ-2ρsinθ+6=0，
且ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴曲线C₁的直角坐标方程为x²+y²+6x-2y+6=0；…（3分）
（Ⅱ）由

x=3cosθ y=3sinθ

知，
两个方程平方相加得，曲线C₂的直角坐标方程为x²+y²=9，
圆C₁的方程减去圆C₂的方程得：6x-2y+15=0，
∴公共弦所在的直线AB的方程为6x-2y+15=0，
∴公共弦|AB|=2

9-( |0-0+15| 36+4 )2

=

3 6

2

．…（7分）

点评：本小题考查了参数方程、极坐标方程，公共弦所在的直线方程的求法，以及弦长公式和点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力．