Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点，若f（c）=0，且0＜x＜c时，f（x）＞0．
（1）试比较

1

a

与c的大小；
（2）求实数b 的取值范围；
（3）当c＞1，t＞0时，求证：

a

t+2

+

b

t+1

+

c

t

＞0．

Answer 1

分析：（1）根据韦达定理可以知道

1

a

是方程f（x）=0的另外的一个根，然后利用反证法可以比较其大小；
（2）先用a、c表示b=-1-ac，再根据第（1）问ac的取值范围，从而确定b的范围即可；
（3）化简不等式，构造关于t的一元二次函数，根据单调性确定函数的最小值大于0，从而证明不等式成立．

解答：解：（1）∵f（x）的图象与x轴有两个不同的交点
∴f（x）=0有两个不同的实数根x₁，x₂
∵f（c）=0∴c是方程f（x）=0的一个根，不妨设x₁=c
∵x1x2=

c

a

，∴x2=

1

a

∴

1

a

≠c
假设

1

a

＜c又 

1

a

＞0
由0＜x＜c时，f（x）＞0与f(

1

a

)=0矛盾
∴

1

a

＞c
（2）∵f（c）=0∴ac+b+1=0∴b=-1-ac
由（1）0＜ac＜1，∴-2＜-1-ac＜-1
∴-2＜b＜-1
（3）原不等式化简为

(a+b+c)t2+(a+2b+3c)t+2c

t(t+1)(t+2)

 ＞0
∵t＞0
∴要证原不等式成立?即证g（t）=（a+b+c）t²+（a+2b+3c）t+2c＞0
∵c＞1＞0∴f（1）＞0即a+b+c＞0
又-2＜b＜-1
∴a+2b+3c=（a+b+c）+（b+2c）＞b+2c＞b+2＞0
∴二次函数g（t）的对称轴 t=-

a+2b+3c

2(a+b+c)

＜0
由此可见g（t）在[0，+∞）上是增函数
∴t＞0时，g（t）＞g（0）＞0
∴原不等式成立．

点评：本题主要考查一元二次函数的根的分布与系数关系，及不等式的证明，有一定的难度，属于难题．