解:(I)当|x|<2时,由
⊥
得
得(x
2-3)x-y=0,y=x
3-3x(|x|<2且x≠0);
当|x|≥2时,由
,得y=-
,
∴y=f(x)=
(II)对?x∈(-∞,-2]∪[2,+∞),都有mx
2+x-3m≥0即m(x
2-3)≥-x,
也就是m≥
对?x∈(-∞,-2]∪[2,+∞)恒成立,
由(2)知当|x|≥2时,f′(x)=
=
>0
∴函数f(x)在(-∞,-2]和[2,+∞)都单调递增
又f(-2)=
=2,f(2)=-2
当x≤-2时f(x)=
>0,
∴当x∈(-∞,-2]时,0<f(x)≤2同理可得,当x≥2时,有-2≤f(x)<0,
综上所述得,对x∈(-∞,-2]∪[2,+∞),f(x)取得最大值2;
∴实数m的取值范围为m≥2.
分析:(I)因为当|x|<2时,
⊥
得
得到y与x的关系式;当|x|≥2时,
,得到 y与x的另一关系式,联立得到f(x)为分段函数;
(II)根据mx
2+x-3m≥0解出m≥
,分区间讨论x的范围得到f(x)的最大值,让m大于等于最大值即可求出m的范围.
点评:考查学生利用导数研究函数单调性的能力,学会用数量积判断两个向量的垂直关系,理解平行向量及共线向量满足的条件,熟悉分段函数的解析式,理解函数恒成立时所取的条件.