Question

已知向量

a

=（x²-3，1），

b

=（x，-y）（其中实数x和y不同时为零），当|x|＜2时，有

a

⊥

b

，当|x|≥2时，

a

∥

b

．
（I）求函数式y=f（x）；
（II）若对?x∈（-∞，-2}∪[2，+∞），都有mx²+x-3m≥0，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）因为当|x|＜2时，

a

⊥

b

得

a

•

b

=0得到y与x的关系式；当|x|≥2时，

a

∥

b

，得到 y与x的另一关系式，联立得到f（x）为分段函数；
（II）根据mx²+x-3m≥0解出m≥

x

3-x2

，分区间讨论x的范围得到f（x）的最大值，让m大于等于最大值即可求出m的范围．

解答：解：（I）当|x|＜2时，由

a

⊥

b

得

a

•

b

=0得（x²-3）x-y=0，y=x³-3x（|x|＜2且x≠0）；
当|x|≥2时，由 

a

∥

b

，得y=-

x

x2-3

，
∴y=f（x）=

x3-3x，(-2＜x＜2且x≠0) - x x2-3 ，(x≥2或x≤-2)

（II）对?x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），都有mx²+x-3m≥0即m（x²-3）≥-x，
也就是m≥

x

3-x2

对?x∈（-∞，-2]∪[2，+∞）恒成立，
由（2）知当|x|≥2时，f′（x）=

(3-x2)-x(-2x)

(3-x2) 2

=

3+x 2

(3-x2) 2

＞0
∴函数f（x）在（-∞，-2]和[2，+∞）都单调递增
又f（-2）=

-2

3-4

=2，f（2）=-2
当x≤-2时f（x）=

x

3-x2

＞0，
∴当x∈（-∞，-2]时，0＜f（x）≤2同理可得，当x≥2时，有-2≤f（x）＜0，
综上所述得，对x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），f（x）取得最大值2；
∴实数m的取值范围为m≥2．

点评：考查学生利用导数研究函数单调性的能力，学会用数量积判断两个向量的垂直关系，理解平行向量及共线向量满足的条件，熟悉分段函数的解析式，理解函数恒成立时所取的条件．