Question

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=

n+1 2 ，n=2k-1(k∈N*) 2 n 2 ，n=2k(k∈N*)

，设b_n=

a2n-1

a2n

，S_n=b₁+b₂+…+b_n．
（1）求S_n；
（2）证明：当n≥6时，|S_n-2|＜

1

n

．

Answer 1

分析：（1）由题意求出a_2n-1，a_2n，通过b_n=

a2n-1

a2n

，然后利用错位相减法求出S_n；
（2）转化当n≥6时，|S_n-2|＜

1

n

．为n（n+2）＜2ⁿ，利用数学归纳法证明，通过放缩法证明n=k+1不等式成立．

解答：解：（1）由已知得，a2n-1=

2n-1+1

2

=n，a2n=2

2n

2

=2n，故bn=

a2n-1

a2n

=

n

2n

，…（2分）
S_n=b₁+b₂+…+b_n=1×

1

2

+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n•(

1

2

)n…（3分）

1

2

S_n=1×(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+3×(

1

2

)4+…+n•(

1

2

)n+1…（4分）
两式相减得，

1

2

S_n=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+(

1

2

)4+…+(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1=1-(

1

2

)n-n(

1

2

)n+1…（5分）
化简得S_n=2-(n+2)(

1

2

)n．…（7分）
（2）由（1）|S_n-2|=(n+2)(

1

2

)n，
因而|S_n-2|＜

1

n

?(n+2)(

1

2

)n＜

1

n

?n（n+2）＜2ⁿ
问题转化为证明：当n≥6时，n（n+2）＜2ⁿ，…（9分）
采用数学归纳法．
①当n=6时，n（n+2）=6×8=48，2ⁿ=2⁶=64，48＜64，
此时不等式成立，…（10分）
②假设n=k（k≥6）时不等式成立，即k（k+2）＜2^k，…（11分）
那么当n=k+1时，2^k+1=2×2^k＞2k（k+2）=2k²+4k=k²+4k+k²
＞k²+4k+3=（k+1）（k+3）=（k+1）（k+1）+2
这说明，当n=k+1时不等式也成立…（13分）
综上可知，当n≥6时，n（n+2）＜2ⁿ，成立，原命题得证．…（14分）

点评：本题考查数列求和，数学归纳法的应用，错位相减法与放缩法的应用，考查逻辑推理能力．