Question

9．已知f（x）=ax+sinx（a∈R）．
（1）当a=$\frac{1}{2}$时，求f（x）在[0，π]上的最值；
（2）若函数g（x）=f（x）+f′（x）在区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上不单调，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导，利用导函数判断函数单调性，利用单调性求函数最值；
（2）求出函数g（x），得出g'（x）=a+cosx-sinx，在区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上不单调可知g'（x）不恒大于零也不恒小于零，得出a的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{2}$x+sinx
∴f'（x）=$\frac{1}{2}$+cosx
当x∈（0，$\frac{2π}{3}$）时，f'（x）＞0，f（x）递增
当x∈（$\frac{2π}{3}$，π）时，f'（x）＜0，f（x）递减
∴f（x）的最大值为f（$\frac{2π}{3}$）=$\frac{π}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
f（0）=0，f（π）=$\frac{π}{2}$
∴f（x）的最小值为f（0）=0；
（2）g（x）=ax+sinx+cosx+a
g'（x）=a+cosx-sinx
=a+$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$-x）
∵x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]
∴-1≤$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$-x）≤$\sqrt{2}$
∵假设在区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上单调
∴g'（x）恒大于零或恒小于零
∴a≥-1或a≤-$\sqrt{2}$
∴在区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上不单调的范围为-$\sqrt{2}$＜a＜-1

点评 考察了导函数的利用和三角函数的基本运算．