Question

1．过函数f（x）=a+$\frac{b}{x}$（a，b＞0）上一点（1，$\frac{3}{2}$）作f（x）图象的切线l，已知l与两坐标轴围成的三角形面积为4．
（1）求a，b的值．
（2）数列{a_n}满足：a_n=f（n），{a_n}前n项之积记为T_n，证明对任意n∈N⁺，不等式T_n＞$\sqrt{n+1}$成立．

Answer 1

分析 （1）求导数，确定切线方程，利用条件建立方程，即可求a，b的值．
（2）确定a_n=f（n），{a_n}前n项之积记为T_n，令x=（1+$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{4}$）…（1+$\frac{1}{2n}$）y=（1+$\frac{1}{3}$）（1+$\frac{1}{5}$）…（1+$\frac{1}{2n+1}$），显然 x＞y＞1，可得x²＞xy=n+1，即可证明结论．

解答 （1）解：∵f（x）=a+$\frac{b}{x}$，
∴f′（x）=-$\frac{b}{{x}^{2}}$，
∴f′（1）=-b，
∴切线l：y-$\frac{3}{2}$=-b（x-1），
令x=0，可得y=b+$\frac{3}{2}$；令y=0，可得x=1+$\frac{3}{2b}$，
∵l与两坐标轴围成的三角形面积为4，
∴$\frac{1}{2}$•（1+$\frac{3}{2b}$）•（b+$\frac{3}{2}$）=4，
∴b=$\frac{1}{2}$，
∵函数f（x）=a+$\frac{b}{x}$（a，b＞0）上一点（1，$\frac{3}{2}$），
∴$\frac{3}{2}$=a+$\frac{1}{2}$，
∴a=1；
（2）证明：a_n=f（n）=1+$\frac{1}{2n}$，
∴T_n=（1+$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{4}$）…（1+$\frac{1}{2n}$）
令x=（1+$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{4}$）…（1+$\frac{1}{2n}$）y=（1+$\frac{1}{3}$）（1+$\frac{1}{5}$）…（1+$\frac{1}{2n+1}$），则
显然 x＞y＞1
∴x²＞xy=n+1
∴x＞$\sqrt{n+1}$即T_n＞$\sqrt{n+1}$．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．