Question

（2013•陕西）如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A₁O⊥平面ABCD，AB=AA₁=

2

．
（Ⅰ） 证明：平面A₁BD∥平面CD₁B₁；
（Ⅱ） 求三棱柱ABD-A₁B₁D₁的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由四棱柱的性质可得四边形BB₁D₁D为平行四边形，故有BD和B₁D₁平行且相等，可得 BD∥平面CB₁D₁．同理可证，A₁B∥平面CB₁D₁．而BD和A₁B是平面A₁BD内的两条相交直线，利用两个平面平行的判定定理可得平面A₁BD∥平面CD₁B₁ ．
（Ⅱ） 由题意可得A₁O为三棱柱ABD-A₁B₁D₁的高，由勾股定理可得A₁O=

A1A2-AO2

的值，再根据三棱柱ABD-A₁B₁D₁的体积V=S_△ABD•A₁O，运算求得结果．

解答：解：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A₁O⊥平面ABCD，AB=AA₁=

2

，
由棱柱的性质可得BB₁ 和DD₁平行且相等，故四边形BB₁D₁D为平行四边形，故有BD和B₁D₁平行且相等．
而BD不在平面CB₁D₁内，而B₁D₁在平面CB₁D₁内，∴BD∥平面CB₁D₁．
同理可证，A₁BCD₁为平行四边形，A₁B∥平面CB₁D₁．
而BD和A₁B是平面A₁BD内的两条相交直线，故有平面A₁BD∥平面CD₁B₁ ．
（Ⅱ） 由题意可得A₁O为三棱柱ABD-A₁B₁D₁的高．三角形A₁AO中，由勾股定理可得A₁O=

A1A2-AO2

=

2-1

=1，
∴三棱柱ABD-A₁B₁D₁的体积V=S_△ABD•A₁O=

AB2

2

•A₁O=

2

2

×1=1．

点评：本题主要考查棱柱的性质，两个平面平行的判定定理的应用，求三棱柱的体积，属于中档题．