Question

己知f（x）=lnx-ax²-bx．
（Ⅰ）若a=-1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）当a=1，b=-1，时，证明函数f（x）只有一个零点．

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意：f（x）=lnx+x²-bx
∵f（x）在（0，+∞）上递增，∴f′（x）=+2x-b≥0对x∈（0，+∞）恒成立
即b≤+2x对x∈（0，+∞）恒成立，∴只需b≤
∵x＞0，∴+2x≥2当且仅当x=时取“=”，∴b≤2，
∴b的取值范围为（-∞，2]

（Ⅱ）当a=1，b=1时，f（x）=lnx-x²-b，其定义域是（0，+∞）
∴f′（x）=-2x+1=-=-
∵x＞0，∴0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0
∴函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减
∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，其值为f（1）=ln1-1²+1=0
当x≠1时，f（x）＜f（1），即f（x）＜0
∴函数f（x）只有一个零点
分析：（I）将f（x）在（0，+∞）上递增，转化成f′（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，即b≤+2x对x∈（0，+∞）恒成立，只需b≤即可，根据基本不等式可求出；
（II）先求出函数的定义域，然后求出f′（x），在定义域内求出f′（x）＞0 与f′（x）＜0，从而得到函数f（x）在定义域内的单调性，得到函数f（x）的最大值为0，从而当x≠1时，f（x）＜f（1），即f（x）＜0，则函数f（x）只有一个零点．
点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，同时考查了转化与划归的思想，分析问题解决问题的能力，属于中档题．