Question

己知f（x）=lnx-ax²-bx．
（Ⅰ）若a=-1，函数f（x）在其定义域内不是单调函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）当a=1，b=-1时，判断函数f（x）只有的零点个数．

Answer 1

分析：（1）已知函数f（x）在其定义域内不是单调函数，所有其导数为0时在定义域内有解，再列出b关于x的式子求解即可．
（2）利用函数在定义域内的单调性和最值研究零点的个数，对f（x）求导，找到单调区间，确定最值f（1）=0，对于?x≠1，f（x）＜0，则得到零点个数．

解答：解：（Ⅰ）依题意：f（x）=lnx+x²-bx，
∵f（x）在（0，+∞）上不是单调函数，∴f，(x)=

1

x

+2x-b=0在(0，+∞)内有解，
即b=

1

x

+2x对?x∈（0，+∞）有解，当且仅当

1

x

=2x，即x=

2

2

时，

1

x

+2x取得最小值2

2

∴只需b≥2

2

∴b的取值范围为[2

2

，+∞）
（Ⅱ）当a=1，b=-1时，f（x）=lnx-x²+x，其定义域是（0，+∞），
∴f′（x）=

1

x

-2x+1=-

(x-1)(2x+1)

x

∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0；
当x＞1时，f′（x）＜0
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
∴当x=1时，f（x）取得最大值为0；
当x≠1时，f（x）＜f（1）=0，
即f（x）只有一个零点．

点评：利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间、极值、最值问题，是函数这一章最基本的知识，也是教学中的重点和难点，学生应熟练掌握．