Question

【题目】《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边、、，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是“以小斜冥并大斜冥减中斜冥，余半之，自乘于上，以小斜冥乘大斜冥减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写出公式，即若，则．

（1）已知的三边，，，且，求证：的面积．

（2）若，，求的面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由三角形的面积公式和同角的平方关系、余弦定理可得证明；

（2）运用两角和的正切公式，求得，再由余弦定理和基本不等式，结合三角形的面积公式可得所求最大值．

（1），，

；

（2）由，可得，

即有，

由，可得，，

即有，即，

由于，故，由余弦定理可得，

可得，当且仅当时取得等号，则的面积，即的最大值为．