Question

【题目】已知函数，若关于的方程有两个不等实数根，，且，则的最小值是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】分析：由题意首先确定函数f(x)的性质，然后结合函数的性质将二元问题转化为一元问题，最后利用导函数构造函数确定最值即可.

详解：因为f(x)=x3+sinx是奇函数且f′(x)=3x2+cosx≥0，所以f(x)=x3+sinx单调递增，

若关于x的方程f(g(x))+m=0恰有两个不等实根，

等价于f(t)+m=0有且只有一个根，t=g(x)有且只有两个根，

且，

所以，

设函数t(x)=x-2ln(x+l)+2,则，

所以当0<x<1时，t′(x)<0，t(x)单调递减，

当x>1时，t′(x)>0，t(x)单调递增，

所以，f(x)的极小值即最小值是t(1)=3-21n2，即的最小值为3-2ln2.

本题选择D选项.