Question

已知函数f(x)=x³+ax²+bx(a,b∈R)的图象过点P(1,2),且在点P处的切线斜率为8.

(1)求a,b的值;

(2)求函数f(x)的单调区间;

(3)求函数f(x)在［-1,1］上的最值.

Answer 1

解:(1)∵函数f(x)的图象过点P(1,2),

∴f(1)=2.∴a+b=1.      ①

又函数图象在点P处的切线斜率为8,

∴f′(1)=8.又f′(x)=3x²+2ax+b,

∴2a+b=5.      ②

解由①②组成的方程组,可得a=4,b=-3.

(2)由(1)得f′(x)=3x²+8x-3,

令f′(x)＞0,可得x＜-3或x＞;

令f′(x)＜0,可得-3＜x＜.

∴函数f(x)的单调增区间为(-∞,-3),(,+∞),单调减区间为(-3,).

(3)由(2)可知f(x)在(-1,)上是减函数,在(,1)上是增函数.

∴f(x)在［-1,1］上的最小值为f()=+-1=.

又f(-1)=6,f(1)=2,

∴f(x)在［-1,1］上的最大值为f(-1)=6.

∴函数f(x)在［-1,1］上的最小值为,最大值为6.