已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC =∠BAD =,AB=BC=2AD=4,E、F分别是AB、CD上的点,EF∥BC,AE = x,G是BC的中点。沿EF将梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF (如图) .
(1) 当x=2时,求证:BD⊥EG ;
(2) 若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f(x),求f(x)的最大值;
(3) 当 f(x)取得最大值时,求二面角D-BF-C的余弦值.
(1)同解析
(2) f(x)的最大值为
(3) 二面角D-BF-C的余弦值为-
1) 作DH⊥EF于H,连BH,GH,
由平面平面知:DH⊥平面EBCF,
而EG平面EBCF,故EG⊥DH。
又四边形BGHE为正方形,∴EG⊥BH,
BHDH=H,故EG⊥平面DBH
而BD平面DBH,∴ EG⊥BD
(2)∵AD∥面BFC,
所以 VA-BFC==4(4-x)x
即时有最大值为
(3)作DH⊥EF于H,作HM⊥BF,连DM。
由三垂线定理知 BF⊥DM,∴∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角。 ………………………………………………………………9分
由△HMF∽△EBF,知,而HF=1,BE=2,,∴HM=。
又DH=2,
∴在Rt△HMD中,tan∠DMH=-,
因∠DMH为锐角,∴cos∠DMH=,
而∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角,
故二面角D-BF-C的余弦值为-。
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AC |
2 |
3 |
3 |
4 |
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π | 2 |
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π | 2 |
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