Question

17．计算${∫}_{0}^{1}$（$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$+e^2x+cos²x）dx=$\frac{π}{4}$+$\frac{1}{2}$e²+$\frac{1}{4}$sin1．

Answer 1

分析 根据定积分的几何意义可得${∫}_{0}^{1}$（$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆的面积的四分之一，再根据定积分的计算法则计算即可．

解答 解：${∫}_{0}^{1}$（$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆的面积的四分之一，
故${∫}_{0}^{1}$（$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$=$\frac{π}{4}$，
${∫}_{0}^{1}$（e^2x+cos²x）dx=${∫}_{0}^{1}$（e^2x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$）dx=（$\frac{1}{2}$e^2x+$\frac{1}{4}$sin2x+$\frac{1}{2}$x）|${\;}_{0}^{1}$=（$\frac{1}{2}$e²+$\frac{1}{4}$sin1+$\frac{1}{2}$×1）-（$\frac{1}{2}$e⁰+$\frac{1}{4}$sin0+$\frac{1}{2}$×0）=$\frac{1}{2}$e²+$\frac{1}{4}$sin1，
故${∫}_{0}^{1}$（$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$+e^2x+cos²x）dx=$\frac{π}{4}$+$\frac{1}{2}$e²+$\frac{1}{4}$sin1，
故答案为：$\frac{π}{4}$+$\frac{1}{2}$e²+$\frac{1}{4}$sin1

点评 本题考查了定积分的计算和定积分的几何意义，关键是求出原函数，属于基础题．