Question

已知：函数f（x）=|x-a|，g（x）=x²-2ax+1，若f（0）=g（0）．
（1）求正实数a的取值；
（2）求函数h（x）=g（x）-f（x）的解析式（用分段函数表示）；
（3）画出函数h（x）的简图，并写出函数的值域和单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）f（0）=|0-a|=|a|=a，g（0）=0-0+1=1，由f（0）=g（0），能求出a．
（2）f（x）-g（x）=|x-1|-x²+2x-1，当x≥1时，f（x）-g（x）=（x-1）-x²+2x-1=-x²+3x-2，当x＜1时，f（x）-g（x）=（1-x）-x²+2x-1=-x²+x，由此能求出h（x）．
（3）当x≥1时，y=h（x）=-x²+3x-2的图象的对称轴是x=

3

2

，顶点坐标是（

3

2

，

1

4

），与x轴交于点（1，0）和（2，0）；当x＜1时，y=h（x）=-x²+x的图象的对称轴是x=

1

2

，顶点坐标是（

1

2

，

1

4

），与x轴交于点（0，0）和（1，0）．
结合抛物线的对称性，能作出h（x）=

-x2+3x-2，x≥1 -x2+x，x＜1

的简图，结合图象，能求出函数的值域和单调递增区间．

解答：解：（1）f（0）=|0-a|=|a|=a，
g（0）=0-0+1=1，
因为f（0）=g（0），
所以a=1．
（2）f（x）-g（x）=|x-1|-x²+2x-1，
当x≥1时，f（x）-g（x）=（x-1）-x²+2x-1=-x²+3x-2，
当x＜1时，f（x）-g（x）=（1-x）-x²+2x-1=-x²+x，
∴h（x）=g（x）-f（x）=

-x2+3x-2，x≥1 -x2+x，x＜1

．
（3）当x≥1时，y=h（x）=-x²+3x-2的图象的对称轴是x=

3

2

，
顶点坐标是（

3

2

，

1

4

），
与x轴交于点（1，0）和（2，0）；
当x＜1时，y=h（x）=-x²+x的图象的对称轴是x=

1

2

，
顶点坐标是（

1

2

，

1

4

），
与x轴交于点（0，0）和（1，0）．
结合抛物线的对称性，
作出h（x）=

-x2+3x-2，x≥1 -x2+x，x＜1

的简图如下：

结合图象，知函数的值域为（-∞，

1

4

]，
单调递增区间为(-∞，

1

2

]∪[1，

3

2

]．

点评：本题考正实数a的取值，求函数h（x）=g（x）-f（x）的解析式，画出函数h（x）的简图，并写出函数的值域和单调递增区间．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．