Question

解答题 已知f(x)是定义在实数集R上的增函数，设F(x)＝f(x)―f(a―x)． (1) 求证：F(x)在R上是增函数； (2) 求F的值，并证明y＝F(x)的图象关于点中心对称； (3) 若对任意x、y∈R，满足F(x＋y)＋F(x－y)＝2F(x)F(y)，求证对任意x∈R，总有F(x＋a)＝－F(x)

Answer 1

答案：
解析：

(1)	证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2 则F(x1)－F(x2)＝[f(x1)－f(a－x1)]－[f(x2)－f(a－x2)] ＝[f(x1)－f(x2)]＋[f(a－x2)－f(a－x1)]…………2分 ∵f(x)在R上是增函数 ∴f(x1)－f(x2)＜0 由(x1)＜f(x2)知：a―x2＜a―x1 ∴f(a－x2)＜f(a－x1) ∴F(x1)－F(x2)＜0即F(x1)＜F(x2) ∴F(x)在R上是增函数…………5分
(2)	解：由已知得：F＝f(a)―f＝0…………6分 设P(x，y)为F(x)的图象上任意点 则P(x，y)关于点成中心对称点P′为(a―x，―y)…………7分 ∵F(a－x)＝f(a―x)―f[a―(a―x)]＝f(a―x)―f(x) ＝―[f(x)―f(a―x)]＝－F(x)…………9分 ∴F(x)的图象关于点成中心对称…………10分
(3)	证明：用，分别代入F(x＋y)＋F(x―y)＝2F(x)F(y) 得：……12分 由⑵知f＝0 ∴F(x＋a)＋F(x)＝0 ∴F(x＋a)＝－F(x)…………14分