Question

【题目】已知函数

（1）若不等式恒成立，则实数的取值范围；

（2）在（1）中， 取最小值时，设函数.若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围；

（3）证明不等式： （且）.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3)证明见解析.

【解析】试题分析：（1）原题等价于恒成立，设，利用导数判断得出差在上单调递增，在上单调递减， ，可得结论；（2）由（1）可得关于的方程在区间上恰有两个实数根，即，令，利用二次求导可得当时， 单调递减，当时， 单调递增，计算出端点值和极值，可得实数的取值范围；（3）由（1）中的结论，令，则有，整理可得，当时，利用累加法可得结论成立.

试题解析：(1)由题意知， 恒成立.变形得： .

设，则，由可知， 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得最大值，且.

所以，实数的取值范围是.

(2)由(1)可知， ，当时， ，

，

在区间上恰有两个零点，即关于的方程在区间上恰有两个实数根. 整理方程得， ，令， ， 令， ，

则， ，于是， 在上单调递增.

因为，当时， ，从而， 单调递减，

当时， ，从而， 单调递增，

， ， ，

因为，所以实数的取值范围是.

(3)由(1)可知，当时，有，

当且仅当时取等号.

令，则有，其中 .

整理得： ，

当时，

， ， ， ，

上面个式子累加得： . 且，

即.命题得证.