【题目】已知函数.
(Ⅰ)探究函数的单调性;
(Ⅱ)若在
上恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)答案见解析;(Ⅱ) .
【解析】试题分析:
(Ⅰ)对函数求导有,分类讨论:若
,
在
上单调递增;若
,
在
上单调递减,在
上单调递增.
(Ⅱ)原问题即在
上恒成立.构造函数:令
,则
,考查分子部分,令
,则
是
上的增函数.据此分类讨论:①当
时,
成立.②当
时,
不可能恒成立.综合上述,实数
的取值范围是
.
试题解析:
(Ⅰ)依题意, ,函数
,
若,
,函数
在
上单调递增;
若,当
时,
,当
时,
,
函数在
上单调递减,在
上单调递增.
(Ⅱ)依题意, ,即
在
上恒成立.
令,则
,
令
,则
是
上的增函数,即
.
①当时,
,所以
,因此
是
上的增函数,
则,因此
时,
成立.
②当时,令
,得
,
求得,(由于
,所以舍去
)
当时,
,则
在
上递减,
当时,
,则
在
上递增,
所以当时,
,
因此时,
不可能恒成立.
综合上述,实数的取值范围是
.
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【题目】为对考生的月考成绩进行分析,某地区随机抽查了名考生的成绩,根据所得数据画了如下的样本频率分布直方图.
(1)求成绩在的频率;
(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数;
(3)为了分析成绩与班级、学校等方面的关系,必须按成绩再从这人中用分层抽样方法抽取出
人作出进一步分析,则成绩在
的这段应抽多少人?
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为
(
为参数),点
是曲线
上的一动点,以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的方程为
.
(Ⅰ)求线段的中点
的轨迹的极坐标方程;
(Ⅱ)求曲线上的点到直线
的距离的最大值.
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【题目】已知函数
(1)若不等式恒成立,则实数
的取值范围;
(2)在(1)中, 取最小值时,设函数
.若函数
在区间
上恰有两个零点,求实数
的取值范围;
(3)证明不等式: (
且
).
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【题目】在直角坐标系xOy中,直线l经过点P(2,0),其倾斜角为,在以原点O为极点,x轴非负半轴为极轴的极坐标系中(取相同的长度单位),曲线C的极坐标方程为.
(Ⅰ)若直线l与曲线C有公共点,求倾斜角的取值范围;
(Ⅱ)设M(x,y)为曲线C上任意一点,求的取值范围.
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【题目】已知下列命题:
①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每30分钟从生产流水线中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样方法是系统抽样;
②两个变量的线性相关程度越强,则相关系数的值越接近于1;
③两个分类变量与
的观测值
,若
越小,则说明“
与
有关系”的把握程度越大;
④随机变量~
,则
.
其中为真命题的是__________.
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【题目】邗江中学高二年级某班某小组共10人,利用寒假参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会.
(1)记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件,求事件
发生的概率;
(2)设为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量
的分布列和数学期望.
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【题目】把长和宽
分别为
和2的长方形
沿对角线
折成
的二面角
,下列正确的命题序号是__________.
①四面体外接球的体积随
的改变而改变;
②的长度随
的增大而增大;
③当时,
长度最长;
④当时,
长度等于
.
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