Question

已知函数f(x)=x，g(x)=

1

x

（1）若h（x）=f（x）+g（x），试判断h（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若p（x）=f（x）-g（x），试判断p（x）在（0，+∞）上的单调性，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用函数的奇偶性的定义判断即可．（2）利用函数单调性的定义进行判断．

解答：解：（1）h（x）为奇函数（2分）
因为f(x)=x，g(x)=

1

x

，所以h（x）=f（x）+g（x）=x+

1

x

．
因为h(-x)=-x+

1

-x

=-h(x)，所以h（x）为奇函数．
（2）p（x）在（0，+∞）上单调递增（2分）利用导数或单调性定义，或函数的性质均可．
因为p（x）=f（x）-g（x），所以p（x）=f（x）-g（x）=x-

1

x

．，
当x∈（0，+∞）时，函数y=x和y=-

1

x

都为增函数，所以函数p（x）在（0，+∞）上的单调递增．
（注：写对h(x)=x+

1

x

，p(x)=x-

1

x

各给（1分），判断正确各给（2分），证明过程各3分）

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用定义法是解决本题的最常用的方法．