Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a=2

3

，cosA=

4

5

．
（Ⅰ）若B=60°，求b的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积为3，求b+c的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）由cosA的值求出sinA的值，再由a，sinB的值，利用正弦定理即可求出求b的值；
（Ⅱ）利用三角形面积公式列出关系式，将sinA与已知面积相等求出bc的值，由余弦定理列出关系式，将a，cosA的值代入，并利用完全平方公式变形，把bc的值代入求出b+c的值即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵cosA=

4

5

，A为三角形内角，
∴sinA=

1-cos2A

=

3

5

，
∵a=2

3

，sinB=

3

2

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：b=

asinB

sinA

=

2 3 × 3 2

3 5

=5；
（Ⅱ）∵S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

10

bc=3，∴bc=10，
∵cosA=

4

5

，a=2

3

，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-16=（b+c）²-16-2bc，
即12=（b+c）²-16-20，
整理得：（b+c）²=48，
则b+c=4

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．