Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

2

，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，过点M（3，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，
（1）求椭圆的方程；
（2）设P为椭圆上一点，且满足

OA

+

OB

=t

OP

（O为坐标原点），当|

PA

-

PB

|＜

3

时，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用离心率求得a和c关系，进而利用椭圆方程中a，b和c的关系求得a和b的关系，最后利用过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长求得b，则a可求得，椭圆的方程可得．
（2）设出A，B，P的坐标和AB的直线方程与椭圆的方程联立消去y，利用判别式大于0求得k的范围，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，利用

OA

+

OB

=t

OP

求得k和t的关系，把点P坐标代入椭圆的方程，利用|

PA

-

PB

|＜

3

求得k的范围，进而利用k和t的关系求得t的范围．

解答：解：（1）由已知e=

c

a

=

3

2

，所以

c2

a2

=

3

4

，
所以a²=4b²，c²=3b²所以

x2

4b2

+

y2

b2

=1
又由过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为

2b2

a

=1
所以b=1
所以

x2

4

+y2=1
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）
设AB：y=k（x-3）与椭圆联立得

y=k(x-3) x2 4 +y2=1

整理得（1+4k²）x²-24k²x+36k²-4=0，△=24²k⁴-16（9k²-1）（1+4k²）＞0得k2＜

1

5

x1+x2=

24k2

1+4k2

，x1•x2=

36k2-4

1+4k2

OA

+

OB

=(x1+x2，y1+y2)=t(x，y)x=

1

t

(x1+x2)=

24k2

t(1+4k2)

y=

1

t

(y1+y2)=

1

t

[k(x1+x2)-6k]=

-6k

t(1+4k2)

由点P在椭圆上得

(24k2)2

t2(1+4k2)2

+

144k2

t2(1+4k2)2

=4，36k²=t²（1+4k²）
又由|

PA

-

PB

|＜

3

，即|BA|＜

3

所以|AB|=

1+k2

|x1-x2|＜

3

所以（1+k²）（x₁-x₂）²＜3（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]＜3（1+k²）[

242k4

(1+4k2)2

-

4(36k2-4)

1+4k2

]＜3
整理得：（8k²-1）（16k²+13）＞0
所以8k2-1＞0，k2＞

1

8

所以

1

8

＜k2＜

1

5

由36k²=t²（1+4k²）得t2=

36k2

1+4k2

=9-

9

1+4k2

所以3＜t²＜4，所以-2＜t＜-

3

或

3

＜t＜2．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的过程一般是把直线与圆锥曲线的方程联立，利用韦达定理和判别式来作为解题的关键．