Question

如图所示，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，
底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=AD.
(1)求证：平面PAC⊥平面PCD；
（2）在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由.

Answer 1

(1)证明略 (2) 存在E点使CE∥平面PAB，此时E为PD的中点.

（1） 设PA=1，由题意BC=PA=1，AD=2.

∵PA⊥平面ABCD，
∴PB与平面ABCD所成的角为∠PBA=45°,
∴AB=1,由∠ABC=∠BAD=90°,
易得CD=AC=，由勾股定理逆定理得AC⊥CD.
又∵PA⊥CD，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC，
又CD平面PCD，
∴平面PAC⊥平面PCD.
（2）存在点E使CE∥平面PAB.
分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示，
则P（0，0，1），C（1，1，0），D（0，2，0），
设E（0，y，z），则=（0，y，z-1），
=（0，2，-1）.
∵∥，∴y·（-1）-2（z-1）="0"                                        ①
∵=(0,2,0）是平面PAB的法向量，
又=（-1,y-1,z），若使CE∥平面PAB，
则⊥.
∴（-1，y-1，z）·（0，2，0）=0，
∴y=1代入①，得z=.
∴E是PD的中点，
∴存在E点使CE∥平面PAB，此时E为PD的中点.