Question

若f（x）=

log2(x2-1)，x＞1 x-2-1，x＜0

，则f（x）≤3的解集是

 

．

Answer 1

分析：当x大于1时，根据分段函数的解析式得到f（x）的表达式，代入f（x）≤3中，把3变为log₈²，由2大于1，根据对数函数为增函数，得到关于x的不等式，求出不等式的解集与x大于1求出交集即为原不等式的解集；当x小于0时，根据分段函数的解析式，得到f（x）的表达式，代入f（x）≤3中，移项后利用平方差公式分解因式，然后根据两数相乘，异号得负化为两个不等式组，根据x小于0和负指数的计算法则，去掉分母后即可得到x的取值范围，综上，求出两种情况的x的范围的并集即为原不等式的解集．

解答：解：当x＞1时，f（x）=

log

x2-1 2

≤3=log₂⁸，
由2＞1，得到对数函数为增函数，
得到x²-1≤8，即（x+3）（x-3）≤0，
解得：-3≤x≤3，又x＞1，
所以原不等式的解集为（1，3]；
当x＜0时，f（x）=x^-2-1≤3，即（x^-1+2）（x^-1-2）≤0，
化为

1 x +2≤0 1 x -2≥0

或

1 x +2≥0 1 x -2≤0

，又x＜0，
解得：x≤-

1

2

，
原不等式的解集为（-∞，-

1

2

]，
综上，f（x）≤3的解集是（-∞，-

1

2

]∪（1，3]．
故答案为：（-∞，-

1

2

]∪（1，3]

点评：此题考查了其他不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想和转化的思想，是一道基础题．