Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象过点（0，1）和（1，4），且对于任意的实数x，不等式f（x）≥4x恒成立．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）设g（x）=kx+1，若F（x）=log₂[g（x）-f（x）]在区间[1，2]上是增函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先利用图象过点（0，1）和（1，4），将点的坐标代入函数解析式得到关于a，b，c的关系式，再结合不等式f（x）≥4x对于任意的x∈R均成立，移项后变成二次函数的一般形式，只需△≤0即可求得a，b，c的值，最后写出函数f（x）的表达式．
（2）由于F（x）=log₂（g（x）-f（x））=log₂（-x²+（k-2）x），设h（x）=-x²+（k-2）x，由二次函数的性质，比较对称轴和区间端点的关系即可．

解答：解：（1）f（0）=1⇒c=1，f（1）=4⇒a+b+c=4

∴f(x)=ax2+(3-a)x+1 f(x)≥4x即ax2-(a+1)x+1≥0恒成立得 由 a＞0 (a+1)2-4a≤0 ⇒a=1 ∴f(x)=x2+2x+1

（2）F（x）=log₂（g（x）-f（x））=log₂（-x²+（k-2）x）
由F（x）在区间[1，2]上是增函数得h（x）=-x²+（k-2）x在[1，2]上为增函数且恒正
故

k-2 2 ≥2 -1+k-2＞0

⇒k≥6，
实数k的取值范围k≥6．

点评：本题考查二次函数在R中的恒成立问题，可以通过判别式法予以解决，二次函数的单调区间有开口方向和对称轴的位置共同决定，在没说明开口方向时一定要注意比较对称轴和区间端点的关系．