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已知点P是圆x2+y2=1上的动点,点P在y轴上的射影为Q,设满足条件
QM
=2
QP
的点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)设过点N(1,0)且斜率为k1(k1≠0)的直线l被曲线C所截得的弦的中点为A,O为坐标原点,直线OA的斜率为k2,求k12+k22的最小值.
分析:(1)设点P的坐标为(x0,y0),点M的坐标为(x,y),由
QM
=2
QP
,得x=2x0,y=y0,把点P坐标(x0,y0)代入圆x2+y2=1 消去x0,y0 可得M的轨迹C的方程.
(2)设出直线l的方程为y=k1(x-1),代入椭圆的方程,化为关于x的一元二次方程,利用根与系数,得到k2=-
1
4k1
,代入要求的式子利用基本不等式求得最小值.
解答:解:(1)设点P的坐标为(x0,y0),点M的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(0,y0).
QM
=2
QP
,得x=2x0,y=y0,即x0=
x
2
y0=y

因为点P在圆x2+y2=1上,把点P代入圆x2+y2=1 可得 
x2
4
+y2=1
,故点M的轨迹C的方程为
x2
4
+y2=1

(2)由题设知,直线l的方程为y=k1(x-1),由
y=k1(x-1)
x2+4y2=4

(4
k
2
1
+1)x2-8
k
2
_
x+4
k
2
1
-4=0
,其中,△=64k14-4(4k12+1)(4k12-4)=16(3k12+1)>0.
设直线l与曲线C的两交点坐标为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=
8
k
2
1
4
k
2
1
+1
y1+y2=k(x1+x2-2)=
-2k1
4
k
2
1
+1
,所以,k2=
y1+y2
2
x1+x2
2
=-
1
4k1

所以,
k
2
_
+
k
2
2
=
k
2
1
+
1
16
k
2
1
1
2
,当且仅当k1
1
2
时取等号,故
k
2
_
+
k
2
2
的最小值是
1
2
点评:本题考查求点的轨迹方程的方法,向量坐标形式的运算,一元二次方程根与系数的关系,基本不等式的应用,
得到 k2=-
1
4k1
 是解题的关键.
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已知点P是圆x2+y2=1上一动点,点P在y轴上的射影为Q,设满足条件
QM
QP
(λ为非零常数)的点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)若存在过点N(
1
2
,0)
的直线l与曲线C相交于A、B两点,且
OA
OB
=0(O为坐标原点),求λ的取值范围.

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RQ
=
3
PQ
,记点R的轨迹为曲线C.
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(Ⅱ)设A(0,1),点M、N在曲线C上,且直线AM与直线AN的斜率之积为
2
3
,求△AMN的面积的最大值.

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