Question

已知点P是圆x²+y²=1上的动点，点P在y轴上的射影为Q，设满足条件

QM

=2

QP

的点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设过点N（1，0）且斜率为k₁（k₁≠0）的直线l被曲线C所截得的弦的中点为A，O为坐标原点，直线OA的斜率为k₂，求k₁²+k₂²的最小值．

Answer 1

分析：（1）设点P的坐标为（x₀，y₀），点M的坐标为（x，y），由

QM

=2

QP

，得x=2x₀，y=y₀，把点P坐标（x₀，y₀）代入圆x²+y²=1 消去x₀，y₀ 可得M的轨迹C的方程．
（2）设出直线l的方程为y=k₁（x-1），代入椭圆的方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数，得到k2=-

1

4k1

，代入要求的式子利用基本不等式求得最小值．

解答：解：（1）设点P的坐标为（x₀，y₀），点M的坐标为（x，y），则点Q的坐标为（0，y₀）．
由

QM

=2

QP

，得x=2x₀，y=y₀，即x0=

x

2

，y0=y．
因为点P在圆x²+y²=1上，把点P代入圆x²+y²=1 可得 

x2

4

+y2=1，故点M的轨迹C的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）由题设知，直线l的方程为y=k₁（x-1），由

y=k1(x-1) x2+4y2=4

，
得(4

k

2 1

+1)x2-8

k

2 _

x+4

k

2 1

-4=0，其中，△=64k₁⁴-4（4k₁²+1）（4k₁²-4）=16（3k₁²+1）＞0．
设直线l与曲线C的两交点坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则x1+x2=

8 k 2 1

4 k 2 1 +1

，y1+y2=k(x1+x2-2)=

-2k1

4 k 2 1 +1

，所以，k2=

y1+y2 2

x1+x2 2

=-

1

4k1

．
所以，

k

2 _

+

k

2 2

=

k

2 1

+

1

16 k 2 1

≥

1

2

，当且仅当k1=±

1

2

时取等号，故

k

2 _

+

k

2 2

的最小值是

1

2

．

点评：本题考查求点的轨迹方程的方法，向量坐标形式的运算，一元二次方程根与系数的关系，基本不等式的应用，
得到 k2=-

1

4k1

 是解题的关键．