Question

已知点P是圆x²+y²=1上一动点，点P在y轴上的射影为Q，设满足条件

QM

=λ

QP

（λ为非零常数）的点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若存在过点N(

1

2

，0)的直线l与曲线C相交于A、B两点，且

OA

•

OB

=0（O为坐标原点），求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先设出点P的坐标，利用题中条件把点M的坐标用点P的坐标表示出来，最后利用点P在圆x²+y²=1上即可求曲线C的方程；
（2）先把直线方程与曲线方程联立求出A、B两点的坐标之间的关系，代入

OA

•

OB

=0的等价结论x₁x₂+y₁y₂=0即可求λ的取值范围．

解答：解：（1）设点P的坐标为（x₀，y₀），点M的坐标为（x，y），则点Q的坐标为（0，y₀）．
由

QM

=λ

QP

，得x=λx₀，y=y₀?x0=

x

λ

，y₀=y．（3分）
因为点P在圆x²+y²=1上，则x₀²+y₀²=1，所以

x2

λ2

+y2=1(λ≠0)．
故点M的轨迹C的方程为

x2

λ2

+y2=1(λ≠0)．（7分）
（2）因为直线l的斜率为0时，

OA

•

OB

=0，故可设直线l的方程为x=my+

1

2

．
由

x=my+ 1 2 x2+λ2y2=λ2

得(m2+λ2)y2+my+

1

4

-λ2=0（*）（10分）
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y1+y2=-

m

m2+λ2

，y1y2=

1 4 -λ2

m2+λ2

．
因为

OA

•

OB

=0，则x₁x₂+y₁y₂=0，又x1x2=m2y1 y2 +

m

2

(y1+y2)  +

1

4

，

所以(m2+1)(

1

4

-λ2)-

m2

2

+

1

4

(m2+λ2)=0，（13分）
因为λ≠0，所以m²=

1 4 - 3 4 λ2

λ2

，由

1 4 - 3 4 λ2

λ2

≥0?-

3

3

≤λ≤

3

3

且λ≠0．，

此时（*）的判别式△＞0成立，故λ的取值范围是[-

3

3

，0)∪(0，

3

3

]．（15分）

点评：本题主要考查轨迹方程的求法，直线的方程，向量共线以及向量垂直等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力．