Question

已知点P是圆x²+y²=1上任意一点，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，点R满足

RQ

=

3

PQ

，记点R的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设A（0，1），点M、N在曲线C上，且直线AM与直线AN的斜率之积为

2

3

，求△AMN的面积的最大值．

Answer 1

分析：（I）根据

RQ

=

3

PQ

，确定P，R坐标之间的关系，利用点P是圆x²+y²=1上任意一点，可得点R的轨迹方程；
（Ⅱ）（1）当直线MN的斜率不存在时，不合题意；
（2）当直线MN的斜率存在时，确定直线MN过定点T（0，-3），再计算△AMN的面积，利用换元法，借助于基本不等式，即可求得△AMN的面积的最大值．

解答：解：（I）设R（x，y），P（x₀，y₀），则Q（0，y₀）．
∵

RQ

=

3

PQ

，∴

x0= 3 3 x y0=y

，
∵点P是圆x²+y²=1上任意一点，
∴x02+y02=1，
∴点R的轨迹方程：

x2

3

+y2=1．…（6分）
（Ⅱ）（1）当直线MN的斜率不存在时，设MN：x=t(-

3

＜t＜

3

)．
则M(t，

1- t2 3

)，N(t，-

1- t2 3

)，∴kAM•KAN=

1

3

，不合题意．…（7分）
（2）当直线MN的斜率存在时，设l_MN：y=kx+b，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
联立方程

y=kx+b x2 3 +y2=1

，得（1+3k²）x²+6kbx+3b²-3=0．
∴△=12（3k²-b²+1）＞0，x1+x2=

-6kb

1+3k2

，x1x2=

3b2-3

1+3k2

．…（9分）
又kAM•kAN=

y1-1

x1

•

y2-1

x2

=

k2x1x2+k(b-1)(x1+x2)+(b-1)2

x1x2

=

2

3

，
即(3k2-2)x1x2+3k(b-1)(x1+x2)+3(b-1)2=0．
将x1+x2=

-6kb

1+3k2

，x1•x2=

3b2-3

1+3k2

代入上式，得b=-3．
∴直线MN过定点T（0，-3）．…（11分）
∴S△AMN=

1

2

|AT|•|x1-x2|=2

(x1+x2)2-4x1x2

=4

3

•

3k2-8

1+3k2

．…（13分）
令

3k2-8

=t(t＞0)，即3k²=t²+8，∴

3k2-8

1+3k2

=

t

t2+9

=

1

t+ 9 t

≤

1

6

．
当且仅当t=3时，(S△ABC)max=

2 3

3

．…（15分）

点评：本题考查轨迹方程的求解，考查三角形的面积，解题的关键是利用代入法求轨迹方程，构建面积函数，利用基本不等式求最值．