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    【题目】《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚．问：得几何？”意思是：“有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作多少个？”现有这样的一个正方体木料，其外周已涂上油漆，则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为( )

    A. B. C. D.

    【答案】C

    【解析】

    有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个，由正方体的结构及锯木块的方法，可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个，由此能求出从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率．

    有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个，

    由正方体的结构及锯木块的方法，

    可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个，

    ∴从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率：

    p．

    故选：C．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如下图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）.潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”.

    （1）求这500名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；

    （2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关；

    短潜伏者

    长潜伏者

    合计

    60岁及以上

    90

    60岁以下

    140

    合计

    300

    （3）研究发现，某药物对新冠病毒有一定的抑制作用，需要在抽取的300人中分层选取7位60岁以下的患者做Ⅰ期临床试验，再从选取的7人中随机抽取两人做Ⅱ期临床试验，求两人中恰有1人为“长潜伏者”的概率.

    附表及公式：

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在四棱锥中，平面．底面是菱形，．

    （Ⅰ）求证：直线平面；

    （Ⅱ）求直线与平面所成角的正切值；

    （Ⅲ）已知在线段上，且，求二面角的余弦值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】随着社会发展对环保的要求，越来越多的燃油汽车被电动汽车取代，为了了解某品牌的电动汽车的节能情况，对某一辆电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：

    记录时间

    累计里程

    （单位：公里）

    平均耗电量（单位：公里）

    剩余续航里程

    （单位：公里）

    2020年1月1日

    5000

    0.125

    380

    2020年1月2日

    5100

    0.126

    246

    （注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，）

    下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是（ ）

    A.等于B.到之间C.等于D.大于

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，矩形中，，是边上异于端点的动点，于点，将矩形沿折叠至处，使面面.点分别为的中点.

    （1）证明：//面；

    （2）设，当x为何值时，四面体的体积最大，并求出最大值.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标进行检测，一共抽取了件产品，并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标有关，具体见下表.

    质量指标

    频数

    一年内所需维护次数

    （1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标的平均值（保留两位小数）；

    （2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取件产品，再从件产品中随机抽取件产品，求这件产品的指标都在内的概率；

    （3）已知该厂产品的维护费用为元/次，工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加元，该产品即可一年内免费维护一次.将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用.假设这件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知函数y=f（x）和y=g（x）在[-2，2]的图像如图所示，给出下列四个命题：

    ①方程f[g（x）]=0有且仅有6个根

    ②方程g[f（x）]=0有且仅有3个根

    ③方程f[f（x）]=0有且仅有5个根

    ④方程g[g（x）]=0有且仅有4个根

    其中正确的命题是___

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】过双曲线的右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与另一条渐近线交于点，已知为坐标原点，若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为（ ）

    A.B.C.D.或2

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知，给定个整点,其中.

    （Ⅰ）当时,从上面的个整点中任取两个不同的整点，求的所有可能值；

    （Ⅱ）从上面个整点中任取个不同的整点，.

    （i）证明：存在互不相同的四个整点，满足,；

    （ii）证明：存在互不相同的四个整点，满足,.

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