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已知函数定义在区间上,,且当时,恒有.又数列满足
(Ⅰ)证明:上是奇函数;
(Ⅱ)求的表达式;
(III)设为数列的前项和,若恒成立,求的最小值.
(Ⅰ)见解析(Ⅱ)(III)m的最小值为7
本试题主要是考查了函数与数列的知识点的交汇处的运用。
(1)运用赋值法,令x=y=0时,则由已知有
可解得f (0)=0.
再令x=0,y∈(-1,1),则有,即
∴  f (x)是(-1,1)上的奇函数
(2)令x=an,y= -an,于是
由已知得2f (an)="f" (an+1),

从而得到 数列{f(an)}是以f(a1)=为首项,2为公比的等比数列.
 
(3)由(II)得f(an+1)=-2n,于.
然后求解和式,得到结论。
解:(Ⅰ)证明:令x=y=0时,则由已知有
可解得f (0)=0.
再令x=0,y∈(-1,1),则有,即
∴  f (x)是(-1,1)上的奇函数.                                           4分
(Ⅱ)令x=an,y= -an,于是
由已知得2f (an)="f" (an+1),

∴ 数列{f(an)}是以f(a1)=为首项,2为公比的等比数列.
                                                8分
(III)由(II)得f(an+1)=-2n,于.
∴ Tn= b1+ b2+ b3+…+ bn

.
.             9分

于是
.
∴ k(n+1)<k(n),即k(n)在N*上单调递减,         12分
∴ k(n)max=k(1)=
即m≥.
∵ m∈N*
∴ m的最小值为7.               14分
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