本试题主要是考查了函数与数列的知识点的交汇处的运用。
(1)运用赋值法,令x=y=0时,则由已知有
,
可解得f (0)=0.
再令x=0,y∈(-1,1),则有
,即
,
∴ f (x)是(-1,1)上的奇函数
(2)令x=a
n,y= -a
n,于是
,
由已知得2f (a
n)="f" (a
n+1),
∴
,
从而得到 数列{f(a
n)}是以f(a
1)=
为首项,2为公比的等比数列.
∴
(3)由(II)得f(a
n+1)=-2
n,于
.
然后求解和式,得到结论。
解:(Ⅰ)证明:令x=y=0时,则由已知有
,
可解得f (0)=0.
再令x=0,y∈(-1,1),则有
,即
,
∴ f (x)是(-1,1)上的奇函数. 4分
(Ⅱ)令x=a
n,y= -a
n,于是
,
由已知得2f (a
n)="f" (a
n+1),
∴
,
∴ 数列{f(a
n)}是以f(a
1)=
为首项,2为公比的等比数列.
∴
8分
(III)由(II)得f(a
n+1)=-2
n,于
.
∴ T
n= b
1+ b
2+ b
3+…+ b
n,
.
∴
. 9分
令
于是
,
∴
.
∴ k(n+1)<k(n),即k(n)在N*上单调递减, 12分
∴ k(n)
max=k(1)=
,
∴
≥
即m≥
.
∵ m∈N
*,
∴ m的最小值为7. 14分