Question

15．如图，直角三角形ABC中，∠A=60°，∠ABC=90°，AB=2，E为线段BC上一点，且BE=$\frac{1}{3}$BC，沿AC边上的中线BD将△ABD折起到△PBD的位置．
（1）求证：PE⊥BD；
（2）当平面PBD⊥平面BCD时，求二面角C-PB-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取BD中点O，连结OE，PO，推导出OE⊥BD，PO⊥BD，从而BD⊥平面POE，由此能证明PE⊥BD．
（2）以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C-PB-D的余弦值．

解答 证明：（1）∵直角三角形ABC中，∠A=60°，∠ABC=90°，
AB=2，E为线段BC上一点，且BE=$\frac{1}{3}$BC，
∴DC=PD=PB=BD=2，BC=2$\sqrt{3}$，
取BD中点O，连结OE，PO，
∵OB=1，BE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴OE=$\sqrt{B{O}^{2}+B{E}^{2}-2×BO×BE×cos30°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴OB²OE²=BE²，∴OE⊥BD，
∵PB=PD，O为BD中点，∴PO⊥BD，
又PO∩OE=O，∴BD⊥平面POE，
∴PE⊥BD．
解：（2）∵平面PBD⊥平面BCD，∴PO⊥平面BCD，
如图，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（0，1，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），C（$\sqrt{3}，-2，0$），
$\overrightarrow{BP}$=（0，-1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{3}，-3，0$），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=-y+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=\sqrt{3}x-3y=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（3，$\sqrt{3}，1$），
平面图PBD的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}$，
由图形知二面角C-PB-D的平面角是锐角，
∴二面角C-PB-D的余弦值为$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．