Question

已知函数f（x）=2sinωx•cos（ωx+）+（ω＞0）的最小正周期为4π（1）求正实数ω的值；（2）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足2bcosA=acosC+ccosA，求f（A）的值．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=2sinωx（cosωx•cos-sinωx•sin）+
=sinωxcosωx-sin²ωx+
=sin2ωx-（1-cos2ωx）+=sin（2ωx+）．
又f（x）的最小正周期T==4π，则ω=．
（2）由2bcosA=acosC+ccosA及正弦定理可得2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）．
又A+B+C=π，则2sinBcosA=sinB．
而sinB≠0，则cosA=．又A∈（0，π），故A=．
由（1）f（x）=sin（+），从而f（A）=sin（×+）=sin=．
分析：（1）首先用两个角的和的正弦公式写出展开后的结果，和2sinωx相乘，利用二倍角公式降幂，最后利用辅角公式写出结果y=sin（2ωx+），根据周期求出ω的值．
（2）由2bcosA=acosC+ccosA及正弦定理可得角的三角函数值之间的关系，根据三角形内角和进行角的代换，根据函数值和角的范围写出解答值，代入函数求出结果．
点评：本题考查三角函数的恒等变形和性质，解题的关键是把三角函数进行正确的变形，得到可以用来求解函数的性质的形式，这是常见的一种高考卷中的题型．