Question

【题目】已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3 ．
（1）求数列{an}通项公式；
（2）{bn} 为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn ， 已知S2n+1=bnbn+1 ， 求数列 的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：记正项等比数列{an}的公比为q，

因为a1+a2=6，a1a2=a3，

所以（1+q）a1=6，q =q2a1，

解得：a1=q=2，

所以an=2n；

（2）

因为{bn} 为各项非零的等差数列，

所以S2n+1=（2n+1）bn+1，

又因为S2n+1=bnbn+1，

所以bn=2n+1， = ，

所以Tn=3 +5 +…+（2n+1） ，

Tn=3 +5 +…+（2n﹣1） +（2n+1） ，

两式相减得： Tn=3 +2（ + +…+ ）﹣（2n+1） ，

即 Tn=3 +（ + + +…+ ）﹣（2n+1） ，

即Tn=3+1+ + + +…+ ）﹣（2n+1） =3+ ﹣（2n+1）

=5﹣ ．

【解析】（1）通过首项和公比，联立a1+a2=6、a1a2=a3 ， 可求出a1=q=2，进而利用等比数列的通项公式可得结论；（2）利用等差数列的性质可知S2n+1=（2n+1）bn+1 ， 结合S2n+1=bnbn+1可知bn=2n+1，进而可知 = ，利用错位相减法计算即得结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等比数列的通项公式（及其变式）的相关知识，掌握通项公式：，以及对数列的前n项和的理解，了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．