Question

【题目】某城市有一直角梯形绿地ABCD，其中∠ABC=∠BAD=90°，AD=DC=2km，BC=1km．现过边界CD上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF，将绿地分成面积相等的两部分．

（1）如图①，若E为CD的中点，F在边界AB上，求灌溉水管EF的长度；
（2）如图②，若F在边界AD上，求灌溉水管EF的最短长度．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为AD=DC=2，BC=1，∠ABC=∠BAD=90°，

所以 ，

取AB中点G，则四边形BCEF的面积为 ，

即 = ，

解得 ，

所以 （km）．

故灌溉水管EF的长度为 km

（2）解：设DE=a，DF=b，在△ABC中， ，

所以在△ADC中，AD=DC=CA=2，

所以∠ADC=60°，

所以△DEF的面积为 ，

又 ，所以 ，即ab=3．

在△ADC中，由余弦定理，得 ，

当且仅当 时，取“=”．

故灌溉水管EF的最短长度为 km

【解析】（1）取AB中点G，则四边形BCEF的面积为 ，求出GF，即可求灌溉水管EF的长度；（2）△ADC中，由余弦定理，得 ，即可求灌溉水管EF的最短长度．
【考点精析】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用的相关知识点，需要掌握用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”才能正确解答此题．