Question

已知函数f(x)满足2f(x)+f=6x+，对x≠0恒成立，在数列{a_n}、{b_n}中，a₁=1，b₁=1，对任意n∈N^*，a_n+1=,b_n+1-b_n=.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)求{a_n}和{b_n}的通项公式；

(3)若对任意实数，总存在自然数k,当n≥k时，b_n≥恒成立，求k的最小值．

Answer 1

(1)2f(x)+f()=6x+

f(x)+2f()=+3x   f(x)=3x 

(2)∵a_n+1=

∴

∴数列{}是以1为首项，2为公差的等差数列,

∴=1+2(n-1)=2n-1

a_n=  (n∈N^*) 

∵b_n+1-b_n==2n-1

b_n-b_n+1=2(n-1)-1

b_n-1-b_n-2=2(n-2)-1

…

b₃-b₂=2×2-1

b₂-b₁=2-1

上面各式相加，得

b_n+1-b₁=2[n+(n-1)+…+2+1]-n=n²

b_n=(n-1)²+1=n²-2n+2 

(3)对任意实数λ∈[0,1]时，b_n≥f()恒成立

对任意实数λ∈[0,1]时,

(2n-1)λ+n²-4n+3≥0恒成立. 

令g(λ)=(2n-1)λ+n²-4n+3,则g(λ)是一次函数,

∴对任意实数λ∈[0,1]时，.

.

∴n≥3或n≤1,n∈N^*  故k_min=3.