Question

是否存在常数a，b使等式1-n+2-（n-1）+3-（n-2）+…+n-1=an（n+b）（n+2）对于任意的n∈N₊总成立？若存在，求出来并证明；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：可假设存在常数a，b使等式1-n+2-（n-1）+3-（n-2）+…+n-1=an（n+b）（n+2）对于任意的n∈N₊总成立，令n=1与n=2列方程解得a，b再用数学归纳法证明．

解答：解：假设存在常数a，b使等式1-n+2-（n-1）+3-（n-2）+…+n-1=an（n+b）（n+2）对于任意的n∈N₊总成立，
令n=1与n=2得：

1=a(1+b)×3 1×2+2×1=2a(2+b)×4

解得：

a= 1 6 b=1

，
即1-n+2-（n-1）+3-（n-2）+…+n-1=

1

6

n（n+1）（n+2）．
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，左边=1×1=1，右边=

1

6

×1×1×（1+1）×（1+2）=1，因此左边=右边，
∴当n=1时等式成立，
（2）假设当n=k时成立，
即1×k+2×（k-1）+3×（k-2）+…+k×1=

1

6

k（k+1）（k+2），
那么当 n=k+1时，
1×（k+1）+2×[（k+1）-1]+3×[（k+1）-2）]+…+（k+1）×1
=[1×k+2×（k-1）+3×（k-2）+…+k×1]+[1+2+3+…+（k+1）]
=

1

6

k（k+1）（k+2）+

(1+k+1)•(k+1)

2

=

1

6

（k+1）（k+2）（k+3）
=

1

6

（k+1）[（k+1）+1][（k+1）+2]
所以，当 n=k+1时等式也成立．
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N₊都成立．

点评：本题考查数学归纳法，对于本题“是否存在”型的问题，先假设存在，通过题意求得a、b的值，再用数学归纳法予以证明，难点在于n=k+1时，等式成立的证明，要用好归纳假设，属于中档题．