Question

16．数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+3n-4．
（1）求证：数列{a_n+1-a_n+3}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过a_n+1=2a_n+3n-4与a_n=2a_n-1+3n-7作差、计算可知a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1）+3，变形可知a_n+1-a_n+3=2（a_n-a_n-1+3），进而可知数列{a_n+1-a_n+3}是以3为首项、2为公比的等比数列；
（2）通过（1）可知a_n+1-a_n+3=3•2^n-1，累加可知数列{a_n}的通项公式a_n=1-3n+3•2^n-1，进而计算可得结论．

解答 （1）证明：∵a_n+1=2a_n+3n-4，
∴当n≥2时，a_n=2a_n-1+3n-7，
两式相减得：a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1）+3，
即a_n+1-a_n+3=2（a_n-a_n-1+3），
又∵a₂-a₁+3=a₁+3-4+3=1+2=3，
∴数列{a_n+1-a_n+3}是以3为首项、2为公比的等比数列；
（2）解：由（1）可知a_n+1-a_n+3=3•2^n-1，
∴a_n+1-a_n=-3+3•2^n-1，
a_n-a_n-1=-3+3•2^n-2，
a_n-1-a_n-2=-3+3•2^n-3，
…
a₂-a₁=-3+3•2⁰，
累加得：a_n-a₁=-3（n-1）+3•2^n-2+3•2^n-3+…+3•2⁰
=3-3n+3•$\frac{1-{2}^{n-1}}{1-2}$
=3-3n+3•2^n-1-3
=-3n+3•2^n-1，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=a₁-3n+3•2^n-1=1-3n+3•2^n-1；
∴S_n=n-3（1+2+…+n）+3（1+2+2²+…+2^n-1）
=n-3•$\frac{n（n+1）}{2}$+3•$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$
=3•2ⁿ-$\frac{3}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n-3．

点评 本题考查等比数列的判定，考查数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．